La dirección IP es, en principio, lo único que te identifica en Internet[1]es un conjunto de números (por ejemplo 200.25.45.100) que identifica a un computador en Internet y que puede ser:

• IP Pública. Para navegar en Internet[2] o para recibir peticiones (p.ej si tienes un servidor) es imprescindible. Son únicas, es decir, no pueden existir dos ordenadores con dos IPs públicas iguales (con IPs privadas sí).
• IP Privada. Es necesaria en una red local (LAN) para que se conecten los equipos entre sí (compartir archivos, impresoras, etc). Pueden existir dos ordenadores con la misma IP privada (pero en redes LAN diferentes).

La dirección IP privada se convierte en pública cuando accedemos a Internet[3] (es lo que hace el router). Entonces en realidad nos interesarían las dos. ¿Cómo se hace?:

• Tu Dirección dirección IP Pública. La puedes ver aquí hasta con mapa
• Dirección Privada. Depende del sistema Operativo que utilices pero utilizando comandos (gráficamente también se puede):
  • En Windows. Vas a Inicio ... Ejecutar ... Escribes cmd (se abre una ventanita) ... Escribes ipconfig
  • En Mac. Aplicaciones ... Utilidades ... Terminal ... Escribes ifconfig
  • En Linux. Abres un terminal ... Escribes ifconfig

¿Así de fácil? Pues sí

Pero si quieres profundizar podrás ver que te sale mucha información que te puede confundir (esto depende del Sistema Operativo), por ejemplo:

• Si tienes más de un interfaz de red (o sea varias tarjeta de red) pueden salir diferentes datos. Es habitual hoy en día al tener una tarjeta de red alámbrica (con cable) y una inalámbrica (wifi). Esto significa que cada tarjeta tiene sus propiedades IP. Sí, tu ordenador puedes tener más de 1 dirección IP.
• Si revisas los detalles puedes ver:
  • Nombre del Interfaz. Cada Sistema Operativo asigna un nombre a cada interfaz (tarjeta) por ejemplo eth0 o en0 (eth viene de Ethernet, el tipo de red más utilizado)
  • Código del Interfaz (Dirección MAC). Cada tarjeta tiene un código interno único (que la distingue del resto).
  • Máscara de Red. Es un número parecido a la direccion IP pero que sirve para ver qué ordenadores estén en esa red local y saber cual es la dirección genérica de esa red y cual la del ordenador. Puedes profundizar en esto revisando ejercicios de direccionamiento IP

Y para terminar, un ejercicio sencillo. Lo puedes hacer en cualquier equipo (hasta en el del trabajo). Por ejemplo, en el mío ( comando ifconfig):

en0: flags=8863 UP,BROADCAST,SMART,RUNNING,SIMPLEX,MULTICAST mtu 1500

        inet6 fe80::219:e3ff:fe35:f4c8%en0 prefixlen 64 scopeid 0x4

        inet 192.168.1.102 netmask 255.255.0.0 broadcast 192.168.1.255

        ether 00:19:e3:35:f4:c8

en1: flags=8863 UP,BROADCAST,SMART,RUNNING,SIMPLEX,MULTICAST mtu 1500

        ether 00:19:e3:d7:c5:31

Del texto puedes ver:

• ¿Cuantas Interfaces de Red hay? Pues dos (que les llama en0 y en1) esto es porque tiene una tarjeta alámbrica (Ethernet) y otra inalámbrica (Wifi)
• ¿Cual es la IP Privada?. La dirección IP privada de en0 es 192.168.1.102 y en1 no tiene (porque no está conectada a la red)
• La dirección MAC (código de la tarjeta) de en1 es 00:19:e3:35:f4:c8 y de en0 es 00:19:e3:d7:c5:31 (aunque no tenga IP asignada siempre tendrá un código MAC)

Pues eso, ¿sabes ya cual es tu dirección IP pública y cual la IP privada? Prueba, que siempre se aprende algo

Actualizado del Original

Notas

[1]. Si a esa dirección IP le añadimos más información (por ejemplo si te conectas con un usuario/contraseña o el uso de cookies) ya la cosa cambia. Pero en principio, con una navegación de cero lo único que pueden saber de tí es tu dirección IP.

[2]. Lo habitual en casa (o en la oficina) es que la IP Pública la tiene el router (el que nos da acceso a Internet) y luego reparte internamente a cada ordenador de la red (LAN). Así tienes una red privada (LAN) y un acceso a a Internet (WAN). En LAN, las IPs son privadas y en WAN tienen que ser públicas (por eso son escasas).

[2]. Cada vez que se enciendo el router (o un ordenador) necesita que alguien le asigne una dirección IP. Puede ser estática (siempre la misma) o dinámica (alguien se la da automáticamente). Una IP pública estática es un recurso escaso y por eso, generalmente hay que pagar por ella.